二阶数列递推公式和特征方程-数列（三）

一个数列的第n项与该数列的其他一项或多项之间存在的对应关系称为数列的递推公式。比如著名的斐波纳契数列的递推公式为： 。

在数列（二）中涉及到几类数列的递推公式，由递推公式计算通项公式。以下罗列：

一、形如

利用累加法进行求解：

对于f(n)，有几种如下常见形式：

二、形如

其中限定为等差数列。

限定为常数数列。

限定为等比数列，当然此时。

三、形如（第二节形式可看做本节形式的简化版）

特征方程解法合适用于关于n的多项式f(n)最高次k较小时。较大时运算量增大。

更为复杂，继续举例：

特征方程解法对于多项式非常不友好。

（举例8出自于自然数求和周边-数列（二）第六节，是解决问题时遇到的实例。）

四、二阶递推公式

4.1 形如

方法2：特征方程法。

，根据韦达定理，满足

。

特殊的：当方程

。

小结：对于数列形式的二阶线性递推公式时，特征方程为 通项公式为： ； 通项公式为： ； 其中X，Y根据初始条件确定。

由于本系列内容尚未涉及，暂不进行讨论）

举例9：数列

解：根据已知条件，

举例10：斐波纳契数列的递推公式为： ,。

4.2 形如

此时转化为第三节中的形式。题型多变，不一定能一次转化成功。根据第三节中的推导结论,

部分形式的f(n),可利用特征方程法求解。f(n)为含多项式或指数函数时，可利用特征方程法。

举例12：在数列(二)第六节中，需求数列 已知：

。

解：将题目中关系式消除中间量，得：

五、归纳

本期探讨了根据数列的几类线性递推公式计算数列的通项公式。

• 1)

• 2)

• 3)

• 4)

• 5)

分析：

• 对于2型，事实上为3型的特殊形式，当f(n)是关于n的单项式，且n的次数为0。
• 对于1型，事实上为3型的特殊形式，当A=1。
• 等差数列，事实上为1型的特殊形式，当f(n)是关于n的单项式，且n的次数为0。

• 对于4型，事实上为5型的特殊形式，当f(n)是关于n的单项式，且n的次数为0，系数为0。

• 一阶线性递推公式 的特征方程为。无重根时且特征根仅有，通项公式形如 。

• f(n)中含有指数函数时，底数可理解为特征方程的特征根，当然，特征根不是仅有1个。若不含有指数函数，理解为特征根 (注意区分本文中特征方程的根和特征根的含义 ) 。

• 二阶线性递推公式 的特征方程为 。无重根时且特征根仅有，通项公式形如 。当 ，即有三重根时， 通项公式形如 。
• 对特征根可以这样理解：

挖坑：将举例12中的结论作为已知条件，即 求数列的通项公式。